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刨根問底(2):一切皆歸於心【連載06】
來源:智悲佛網 日期:2016-06-08 瀏覽量:2868

 

八、“寒塘渡鶴影”—— 數學領域的證明


在物理學領域暢遊了一番後,原本準備直接走向結論。而數學,僅僅作為一個輔助性表述。然而,這幾天,隨著我的數學知識從零到一點點積累,我忽然發現,數學領域早已經用數學自己的方法,得出了同樣的結論。在我看來,數學和物理學猶如自然科學王國的國王和王子、鋼琴和小提琴;如果不對數學領域作一次瀏覽,將是非常大的缺憾。

早在古希臘和羅馬,畢達哥拉斯奠定了數學自身的基礎,和解釋世界的哲學地位。據說,他小時候,有一次背著柴禾上街,有一位長者見到後,說:從你捆柴禾的方法看,你很有數學天分,你長大後會成為一個了不起的學者。畢達哥拉斯不僅有天分,而且有著另外一個成功必須的重要稟賦:魄力。他扔掉柴禾,渡海去向著名的學者求學。在老師的引導下,他的數學天賦很快完全展現,他發現並定義了一大堆可以稱為數學大廈基礎的數學定理和數學現象,當然最為著名的是“勾股定理”。

後來,他的興趣向哲學拓展,創立了畢達哥拉斯學派。他的基本哲學思想是:世界是數。世界的一切現象,都可以用數和數的關係來表達。

就在200年後,另外一個富有天分的青年數學家,畢達哥拉斯學派的門徒:希伯斯,發現了無理數:無限不循環小數。古希臘人們曾經信仰,世界的一切都是確定的。所以所有的數,都可以寫為一個分子和分母都是整數的分數形式。比如:整數2,可以寫為:2/1;有限小數2.1可以寫為21/10;而循環小數2.,可寫為19/9

希伯斯發現,邊長為1的等腰直角三角形的斜邊 ,即,是一個無限不循環小數。這意味著這個後來被稱為“無理數”的將無法得到一個確切的空間位置。畢達哥拉斯為大家描繪的井井有條的具有優雅的數學結構的世界,突然變得不確定和醜陋了。

希伯斯被憤怒的同門學長們扔進大海,再也沒有浮出水麵。但是無理數卻很快被人們所確認了。至今為止,所知道的無理數,包括大多數自然數的開2次方;,這個至今都在困擾人們的著名的圓周率;還有著名的常數e

無理數,引發了第一次數學危機。它暗示:世界的奧秘隱藏在“極限”概念中。

十七世紀,牛頓和萊布尼茨各自獨立發明了微積分。微積分在應用中取得極大的成功,至今仍舊在各個領域發揮巨大的作用。但是它的基礎建立在一個非常矛盾的基礎上:Δx = 0並且 Δx ≠0

這就是第二次數學危機。

到了19世紀,柯西用“嚴格”的科學方式,定義了微積分的基礎:極限,看似解決了這個難題。他的方法是:

定義:設|Xn|為一數列,如果存在常數a對於任意給定的正數ε

(不論它多麽小),總存在正整數N,使得當n>N時,  |Xn - a|<ε

 都成立,那麽就稱常數a是數列|Xn|的極限,或稱數列|Xn|收斂於a

記為   lim Xn = a Xnan→∞)

除非,你是數學係的,否則請直接跳過剛才這段公式。霍金在《時間簡史》中說,每增加一個方程式,科普文章的魅力和可讀性將減少一半。

需要知道的是:柯西用了“給定”、“總存在”、“收斂於”這幾個非常科學、非常嚴謹的用詞,來準確定義“無限小”這個概念。這就是柯西極限被人們讚歎的原因。

然而仔細觀察柯西極限,看到,其實,這就是把牛頓比較樸素的微積分,作了一個精細的包裝。其實它的內容和涵義沒有改變。

在柯西概念中,無限小收斂於零,有兩個性質:一方麵,無論如何趨近於零,但是永遠不會等於零;另一個方麵,經過包裝後,有了“給定”“存在”“收斂於”這樣的學術用語,特別是“收斂於”這個貌似非常堂皇的封號,它開始名正言順地在各種積分運算中,以“零”的代言人不斷出現。根據不同的需要,極限一會兒等於零,一會兒不等於零。就像一個人身上帶著兩張名片,不同場合切換使用,左右逢源。

而康托爾的集合論,通過集合與集合的對應關係,把極限的難題,從線段關係,推向了二維乃至多維空間關係。但是從對應關係推出的“局部等於整體”的結論,使康托爾的樸素集合論麵臨一個新的矛盾,即“理發師”悖論所提出的:某個集合,既是自己,又不是自己。這就是第三次數學危機。迄今為止,它已經衍生出三大現代數學流派,各自都獲得了非常矚目的成績,但都是現象學和應用學層麵上的。對於關係到實相層麵的,問題始終沒有解決。

縱觀整個數學史,在關於“無限”概念的領域中,最基本的難題始終困擾人們。三次數學危機,本質上都是一樣的,這方麵似乎沒有真正的進展。

雖然,人們一再宣布,已經解決了前人的難題,就像人們一再宣稱解決了芝諾悖論一樣。但是,實際上,他們隻是通過更加複雜的表述方式,或者更加高級的定理,來轉移矛盾。這種解決的方案,就像“奧運火炬”。矛盾本身沒有改變,也沒有熄滅。但是它不斷在人們的手中接力,從而不斷轉換陣地,以逃避當地的審查。這就像火車上的逃票遊戲,或者像中國的“超生遊擊隊”一樣。一個更加形象的比喻是中國孩子經常玩的“擊鼓傳花”遊戲或者“丟手帕”遊戲。

這樣的情況在科學史上一再重複。這種現象,可以稱為“奧運火炬”現象,或者“接力棒”現象,或者“丟手帕”現象。

那麽,如何真正解答這個基礎性的難題呢?

在計算機算法中,有一個基本的算法,叫“回溯法”。它是一種有次序的窮舉方法。比較典型的題目,就是走迷宮。為了走出迷宮,從起點出發,每到一個岔路口,就標記上(1), 然後選擇一個路口往前探索,到了下一個岔路口時,再標記(2),再選擇其一繼續探索。探索的原則是“深度優先搜索”法。如果走通了,就是有解。如果此路不通,就回頭窮盡其他的可能性。

“回溯法”的一個重要思路是:當在某一個方向上始終走不通的時候,必須回到之前的假設上,換一個可能性,重新探索。如果還不行,則要回到更前的假設上,探索其他可能性。

“回溯法”是自然科學史上最重要的方法。每一次劃時代的新發現或者新理論,都是回到基本的假設上,推翻似乎那麽不容置疑的“常識”,換一個可能性進行探索,隻要它在邏輯上合理和自洽。

由於每一次重大的回溯,都是進入一條完全嶄新的路,所以,每一次重大的回溯,都會帶來一次潮湧般的變革,從未走過的新路上各種新景色讓人眼花繚亂。

“回溯法”最大的障礙,是人們頑固的“常識”。為了打破成見,必須勇敢地提醒自己福爾摩斯那個非常經典、富有哲理性的話:“我的方法,就建立在這樣一種假設上麵:當你把一切不可能的結論都排除之後,那剩下的,不管多麽離奇,也必然是事實。”(《新探案‧皮膚變白的軍人》)”

 數學三大危機,已經非常明顯地告訴人們,最基本的矛盾,在最初的假設上。所以,必須利用回溯法解決問題。固執地按照舊的方向往前,隻能迷失在越來越複雜細化的死胡同裏。

那麽,應該回到哪裏去呢?

回到牛頓!

牛頓說:Δx = 0 並且 Δx≠ 0

       這個結論看似非常矛盾。但是“看似”矛盾,並不真的一定矛盾。就像量子力學史上,海森堡發現p+qq+p。要敢於去驗證這個結果。如果這個結果非常可靠,那麽不管多麽違反的常識,也要敢於去揭開它的麵紗,了解麵紗背後的真正涵義!

(未完待續)



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